在四棱锥中,底面是直角梯形,∥,∠, ,平面⊥平面.
(1)求证:⊥平面;
(2)求平面和平面所成二面角(小于)的大小;
(3)在棱上是否存在点使得∥平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)因为 ,所以.因为 平面平面,平面平面,平面,所以 平面;(Ⅱ) ;(Ⅲ)解:在棱上存在点使得∥平面,此时.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证明:因为 ,
所以 . ………………………………………1分
因为 平面平面,平面平面,
平面,
所以 平面. ………………………………………3分
(Ⅱ)解:取的中点,连接.
因为,
所以 .
因为 平面平面,平面平面,平面,
所以 平面. ………………………………………4分
如图,
以为原点,所在的直线为轴,在平面内过垂直于的直
线为轴,所在的直线为轴建立空间直角坐标系.不妨设.由
直角梯形中可得,,
.
所以 ,.
设平面的法向量.
因为
所以
即
令,则.
所以 . ………………………………………7分
取平面的一个法向量n.
所以 .
所以 平面和平面所成的二面角(小于)的大小为.
………………………………………9分
(Ⅲ)解:在棱上存在点使得∥平面,此时. 理由如下:…………10分
取的中点,连接,,.
则 ∥,.
因为 ,
所以 .
因为 ∥,
所以 四边形是平行四边形.
所以 ∥.
因为 ,
所以 平面∥平面. ………………………………………13分
因为 平面,
所以 ∥平面. ………………………………………14分
考点:本题考查了空间中线面关系的判断及角的求法
点评:本题主要考查线面关系的判定及二面角的求法,考查空间想象能力与逻辑思维能力,对于立体几何问题的证明问题,要求我们熟练应用课本上的定理、性质、结论等,要求会用几何法和向量法两种方法求解
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科目:高中数学 来源:2010年山西省实验中学高考数学模拟试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:山西省实验中学2010高考仿真实战(理) 题型:解答题
如图在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是边长为a的正三角形,二面角P—AD—B为直二面角,ABCD是矩形,E是AB中点,PC与底面ABCD成角.
(I)求二面角P—EC—D的大小;
(II)求D点到平面PEC的距离.
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