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在四棱锥中,底面是直角梯形,,∠,平面⊥平面.

(1)求证:⊥平面

(2)求平面和平面所成二面角(小于)的大小;

(3)在棱上是否存在点使得∥平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(Ⅰ)因为 ,所以.因为 平面平面,平面平面平面,所以 平面;(Ⅱ) ;(Ⅲ)解:在棱上存在点使得∥平面,此时.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)证明:因为

所以 .                        ………………………………………1分

因为 平面平面,平面平面

平面

所以 平面.                  ………………………………………3分

(Ⅱ)解:取的中点,连接.

因为

所以 .

因为 平面平面,平面平面平面

所以 平面.                ………………………………………4分

如图,

为原点,所在的直线为轴,在平面内过垂直于的直

线为轴,所在的直线为轴建立空间直角坐标系.不妨设.由

直角梯形可得

.

所以 .

设平面的法向量.

因为

所以

,则.

所以 .                 ………………………………………7分

取平面的一个法向量n.

所以 .

所以 平面和平面所成的二面角(小于)的大小为.

………………………………………9分

(Ⅲ)解:在棱上存在点使得∥平面,此时. 理由如下:…………10分

的中点,连接.

.

因为

所以 .

因为

所以 四边形是平行四边形.

所以 .

因为

所以 平面∥平面.           ………………………………………13分

因为 平面

所以 ∥平面.               ………………………………………14分

考点:本题考查了空间中线面关系的判断及角的求法

点评:本题主要考查线面关系的判定及二面角的求法,考查空间想象能力与逻辑思维能力,对于立体几何问题的证明问题,要求我们熟练应用课本上的定理、性质、结论等,要求会用几何法和向量法两种方法求解

 

练习册系列答案
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精英家教网如图在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为a的正三角形,二面角P-AD-B为直二面角,ABCD是矩形,E是AB中点,PC与底面ABCD成30°角.
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        如图在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是边长为a的正三角形,二面角P—AD—B为直二面角,ABCD是矩形,E是AB中点,PC与底面ABCD成角.

   (I)求二面角P—EC—D的大小;

   (II)求D点到平面PEC的距离.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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