Question

如图是在一个半球上面放一个圆锥，其中圆锥的底面与半球的底面重合，且圆锥的体积与半球体积相等，则圆锥的轴截面两条母线的夹角为

arccos

3

5

．（结果用反三角函数表示）

Answer 1

分析：先设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，然后利用体积相等建立等式关系，求出2θ的余弦值，最后用反三角表示即可．

解答：解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高 H=R•cotθ
圆锥的体积 V₁=

1

3

πR²•H=

1

3

πR³cotθ
半球的体积 V₂=

2

3

πR³
∵V₁=V₂即：

1

3

πR³cotθ=

2

3

πR³
∴cotθ=2
∴cos2θ=

3

5

即圆锥的轴截面两条母线的夹角为arccos

3

5

故答案为：arccos

3

5

．

点评：本题考查旋转体圆锥、球的体积，以及三角函数的求值，考查计算能力，属于基础题．