Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且位于x轴上方．若点P到坐标原点O的距离为，则过F、O、P三点的圆的方程是________．

Answer 1

x²+y²-x-7y=0
分析：根据抛物线方程，求出焦点F的坐标和满足条件|OP|=4的P点的坐标，再设经过F、O、P三点圆的一般式方程，将O、F、P坐标代入，解关于D、E、F的方程组，即可得到所求圆的方程．
解答：∵抛物线的方程为y²=4x，∴抛物线焦点为F（1，0）
设P（，t），则|OP|==4，解之得t=4（舍负），
∴P坐标为（4，4）
设经过F、O、P三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将O（0，0），F（1，0），P（4，4）代入，得
，解之得D=-1，E=-7，F=0
∴经过F、O、P三点的圆的方程为x²+y²-x-7y=0．
故答案为：x²+y²-x-7y=0
点评：本题给出过抛物线上一点和焦点的圆经过坐标原点，求圆的一般式方程，着重考查了抛物线的标准方程和基本概念、圆的一般式方程等知识，属于基础题．