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如图,O是正方形ABCD的中心,PO⊥面ABCD,E是PC的中点.PO=
11
AB=
2

(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求异面直线PA和BE所成的角.
分析:(1)利用线面垂直的性质可得PO⊥BD,结合ABCD是正方形,利用线面垂直的判定可得结论;
(2)连接OE,证明∠OEB是异面直线PA和BE所成的角,在Rt△BOE中,求异面直线PA和BE所成的角.
解答:(1)证明:∵PO⊥底面ABCD,BD?面ABCD,∴PO⊥BD…2分
∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC…4分
∵PO∩AC=O,PO?平面PAC,AC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC…6分
(2)解:连接OE,
∵O是正方形ABCD的中心,∴OA=OC…7分
在△PAC中,E是PC的中点
∴OE∥PA且OE=
1
2
PA
…8分
∴∠OEB是异面直线PA和BE所成的角                  …9分
在正方形ABCD中,AB=
2
,∴OB=
1
2
BD=1
…10分
在Rt△POA中,OA=OB=1,PO=
11
,∴PA=
OA2+PO2
=2
3
…11分
OE=
3
…12分
由(1)知BD⊥平面PAC,且OE?平面PAC,∴BD⊥OE
∴在Rt△BOE中,BE=
OB2+OE2
=2
…13分
∴∠OEB=30°,即异面直线PA和BE所成的角是30°…14分
点评:本题考查线面垂直,考查异面直线所成的角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.PO=
2
,AB=2

求证:(1)PA∥平面BDE
(2)平面PAC⊥平面BDE
(3)求二面角E-BD-A的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.PO=
2
,AB=2
,求证:
(1)PA∥平面BDE;
(2)平面PAC⊥平面BDE.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,ABCD是正方形,O是该正方形的中心,P是平面ABCD外一点,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.求证:
(1)PA∥平面BDE;
(2)平面EBD⊥平面PAC;
(3)若PA=AB=4,求四棱锥P-ABCD的全面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,O是正方形ABCD的中心,PO⊥面ABCD,E是PC的中点.PO=
11
AB=
2

(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求异面直线PA和BE所成的角.
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