Question

（2011•资中县模拟）函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断函数在（-1，1）上的单调性；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）若奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0，代入即可得b，再由f（

1

2

）=

2

5

代入即可得a值
（2）因为函数为奇函数，故只需判断x＞0时函数的单调性即可，利用单调性定义即可证明
（3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式中的f脱去，等价转化为关于t的不等式组，解之即可

解答：解：（1）∵函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）的奇函数
∴f（0）=0，即得b=0
∵f（

1

2

）=

2

5

．
∴

a× 1 2

1+( 1 2 )2

=

2

5

，即得a=1
∴f（x）=

x

1+x2

（2）设任意x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，1）上为增函数
∵函数f（x）是定义在（-1，1）的奇函数
∴函数f（x）在（-1，1）上为增函数
（3）不等式f（t-1）+f（t）＜0
?f（t-1）＜-f（t）
?f（t-1）＜f（-t）  （根据奇函数的性质）
?

-1＜t-1＜1 -1＜-t＜1 t-1＜-t

  （根据定义域和单调性）
?0＜t＜

1

2

点评：本题综合考查了函数的奇偶性和函数的单调性，奇函数的性质，函数单调性的判断方法，利用函数性质解不等式