Question

若函数y=f（x）满足：①对任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab；②y=f（x）图象的一条对称轴方程是x=k；③y=f（x）在区间[1，2]上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤1
B．k≥2
C．k≤2
D．k≥1

Answer 1

【答案】分析：由对任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab，可求得f（0）=0，构造f（0）=f（x）+f（-x）-2x²=0可得f（x）+f（-x）=2x²，结合已知可知，f（x+k）=f（k-x），从而可得f（x）=x²-2kx，结合二次函数的性质可求k的取值范围
解答：解：对任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab
令a=b=0可得，f（0）=2f（0），即f（0）=0
而f（0）=f（x）+f（-x）-2x²=0
∴f（x）+f（-x）=2x²①
∵y=f（x）图象的一条对称轴方程是x=k
∴f（x+k）=f（k-x）
从而可得，f（x）+f（k）+2kx=f（k）+f（-x）-2kx
即f（x）-f（-x）=-4kx②
①②联立可得，f（x）=x²-2kx；
y=f（x）=x²-2kx；在区间[1，2]上单调递增
∴k≤1
故选：A
点评：本题以抽象函数的性质的考查为载体，主要考查了利用赋值法求解函数的函数值及函数的解析式，解决本题的关键有两个（1）是先要根据条件f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab，求出f（0）=0，进而构造出f（x）+f（-x）=2x²的形式，（2）是根据已知对称轴及条件①得到了f（x）-f（-x）=-4kx，从而求解出函数的解析式，本题是一道综合性较好的试题，且性质的应用非常巧妙，是一道好题．