Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=

3

2

a₂-1，S₃=

3

2

a₃-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列，求数列{

1

dn

}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₃=S₃-S₂结合已知求得等比数列的公比q，再把q代入S₂=

3

2

a₂-1求解a₁，则等比数列的通项公式可求；
（2）由an+1=2×3n，an=2×3n-1，a_n+1=a_n+（n+1）d_n求出d_n，进一步得到

1

dn

，再由错位相减法求
数列{

1

dn

}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）由已知得a3=S3-S2=

3

2

a3-

3

2

a2，
∴a₃=3a₂，则公比q=3，
由S₂=

3

2

a₂-1，得a1+3a1=

9

2

a1-1，即a₁=2，
因此数列{a_n}的通项公式为an=2×3n-1；
（2）由（1）知an+1=2×3n，an=2×3n-1，
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴dn=

4×3n-1

n+1

，则

1

dn

=

n+1

4×3n-1

，
令Tn=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

，
则Tn=

2

4×30

+

3

4×31

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

  ①

1

3

Tn=

2

4×31

+

3

4×32

+…+

3

4×3n-1

+

n+1

4×3n

  ②
①-②得：

2

3

Tn=

2

4×30

+

1

4×31

+

1

4×32

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n+5

8×3n

，
∴Tn=

15

16

-

2n+5

16×3n-1

．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．