Question

已知函数f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）的表达式．    
（2）是否存在实数m，n同时满足以下条件：①m＞n＞3； ②当h（a）的定义域为[m，n]时，值域为[n²，m²]，若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法，结合二次函数的图象和性质即可求h（a）的表达式．    
（2）根据二次函数图象和性质，结合定义域和值域之间的关系进行讨论即可．

解答： 解：（1）∵x∈[-1，1]，
∴(

1

3

)x∈[

1

3

，3]，
设(

1

3

)x=t，t∈[

1

3

，3]
则F（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²…（2分）
①当a＜

1

3

时，h(a)=F(t)min=F(

1

3

)=

28-6a

9

，
②当

1

3

≤a≤3，h（a）=F（t）_min=F（a）=3-a²，
③当a＞3，h（a）=F（t）_min=F（3）=12-6a，
则h（a）=

28-6a 9 ，a＜ 1 3 3-a2， 1 3 ≤a≤3 12-6a，a＞3

．…（6分）
（2）∵m＞n＞3，
∴h（a）=12-6a在（3，∞）上为减函数，…（8分）
又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[n²，m²]，
∴

12-6m=n2 12-6n=m2

两式相减得6（m-n）=（m-n）（m+n），…10分
∵m＞n＞3，
∴m+n=6，这与m＞n＞3矛盾．故满足条件的m，n不存在．…（12分）

点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用换元法是解决本题的关键．要求熟练掌握二次函数的图象和性质．