Question

已知函数f′（x）是f（x）的导函数，且f′（x）=（a-1）x²+ax+1是偶函数，则f（x）的递增区间是

（-1，1）

．

Answer 1

分析：利用f′（x）=（a-1）x²+ax+1是偶函数，求得函数的解析式，再利用导数大于0，可得f（x）的递增区间．

解答：解：∵f′（x）=（a-1）x²+ax+1是偶函数，
∴f′（-x）=f′（x）
∴（a-1）x²-ax+1=（a-1）x²+ax+1
∴-a=a，∴a=0
∴f′（x）=-x²+1
令f′（x）=-x²+1＞0，可得-1＜x＜1
∴f（x）的递增区间是（-1，1）
故答案为：（-1，1）．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．