Question

已知幂函数求导公式：（x^α）'=α•x^α-1对α∈R均成立．
（1）当α≥1，且x＞-1时，试证明：（1+x）^α≥1+αx，
（2）设a，b∈（0，1）．试证明：a^a+b^b≥a^b+b^a．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,导数的综合应用

分析：（1）令h（x）=（1+x）^α-αx-1，求导数，当α＞1时，（1+x）^α-1-1单调递增，讨论在x＞-1时，求出单调增区间和单调减区间，得到x=0是h（x）的唯一极小值点，则h（x）≥h（0）=0，即可得证；
（2）分a=b和a≠b两种情况证明结论，并构造函数φ（x）=x^a-x^b，先证得φ（x）是单调减函数，进而得到结论．

解答： 证明：（1）令h（x）=（1+x）^α-αx-1，
h'（x）=α（1+x）^α-1-α=α[（1+x）^α-1-1]，
当α=1时，不等式显然成立；
当α＞1时，（1+x）^α-1-1单调递增，
当x=0时，h'（x）=0，
当x∈（-1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增．
∴x=0是h（x）的唯一极小值点，
∴h（x）≥h（0）=0，（1+x）^α≥αx+1恒成立；
（2）当a=b，不等式显然成立；
当a≠b时，不妨设a＜b，
则a^a+b^b≥a^b+b^a?a^a-a^b≥b^a-b^b，
令φ（x）=x^a-x^b，x∈[a，b]
下证φ（x）是单调减函数．
∵φ′（x）=ax^a-1-bx^b-1=ax^b-1（x^a-b-

b

a

）
易知a-b∈（-1，0），1+a-b∈（0，1），

1

1+a-b

＞1，
由（1）知当t＞1，（1+x）^t＞1+tx，x∈[a，b]，
∴b

1

1+a-b

=[1+(b-1)]

1

1+a-b

＞1+

b-1

1+a-b

=

a

1+a-b

＞a，
∴b＞a^1+a-b，∴

b

a

＞a^a-b≥x^a-b，
∴φ'（x）＜0，
∴φ（x）在[a，b]上单调递减．
∴φ（a）＞φ（b），
即a^a-a^b＞b^a-b^b，
∴a^a+b^b＞a^b+b^a．
综上，a^a+b^b≥a^b+b^a成立．

点评：考查不等式的证明，考查运用导数判断函数的单调性，证明不等式的方法，构造函数是解题的关键．