Question

已知函数.
（Ⅰ）若,求在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时,的极小值点为和，极大值点为；当时,的极小值点为；当时,的极小值点为；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）时，，先求切线斜率，又切点为，利用直线的点斜式方程求出直线方程；（Ⅱ）极值点即定义域内导数为0的根，且在其两侧导数值异号，首先求得定义域为，再去绝对号，分为和两种情况，其次分别求的根并与定义域比较，将定义域外的舍去，并结合图象判断其两侧导数符号，进而求极值点；（Ⅲ）即，当时，显然成立；当时，，当时，去绝对号得恒成立或恒成立，转换为求右侧函数的最值处理.
试题解析：的定义域为.
(Ⅰ)若，则，此时.因为，所以,所以切线方程为，即.
（Ⅱ）由于，.
⑴ 当时，，，
令，得，（舍去），
且当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增,的极小值点为.
⑵ 当时，.
① 当时，，令，得,(舍去).
若，即，则，所以在上单调递增；
若，即， 则当时，；当时，，所以在区间上是单调递减，在上单调递增，的极小值点为.
② 当时，.
令，得，记，
若，即时，，所以在上单调递减；
若，即时，则由得，且，
当时，；当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增；在上单调递减.
综上所述,当时,的极小值点为和，极大值点为；
当时,的极小值点为；
当时,的极小值点为.
（Ⅲ）函数的定义域为.由，可得…（*）
（ⅰ）当时，，，不等式（*）恒成立；
（ⅱ）当时，，即，所以；
（ⅲ）当时，不等式（*）恒成立等价于恒成立或恒成立.
令,则.令,则,
而，所以，即，
因此在上是减函数，所以在上无最小值，
所以不可能恒成立.
令，则，因此在上是减函数，
所以，所以.又因为，所以.
综上所述，满足条件的的取值范围是.