【题目】已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.
(1)求f(x)的最大值,以及该函数取最大值时x的取值集合;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,且,求角C.
【答案】(1) f(x)的最大值为2,该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z};
(2) C=或
.
【解析】试题分析:(1)利用二倍角及两角和与差正弦公式化简函数f(x),再利用三角函数的有界性得到函数的最值;(2)由可确定
为锐角,利用
,解得
,再利用正余弦定理即可求出角C.
试题解析:
(1)f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1=
sin2x+cos2x=2
.当
=1,即2x+
=
+2kπ,解得x=kπ+
,k∈Z时取等号.
∴f(x)的最大值为2,该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
(2)f(A)=2,∴2sin=2,解得A=kπ+
,k∈Z.
∵a<b,∴A为锐角, ∴A=.
由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,解得或
由正弦定理可得:,
可得sinC==
或
;
∴C=或
.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x﹣1.
(1)求f(x)的函数解析式,并用分段函数的形式给出;
(2)作出函数f(x)的简图;
(3)写出函数f(x)的单调区间及最值.
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【题目】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.
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【题目】为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:( )
做不到“光盘” | 能做到“光盘” | |
男 | 45 | 10 |
女 | 30 | 15 |
附:
P(K2 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
参照附表,得到的正确结论是
A.在犯错误的概率不超过l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
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【题目】过椭圆:
上一点
向
轴作垂线,垂足为右焦点
,
、
分别为椭圆
的左顶点和上顶点,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动直线与椭圆
交于
、
两点,且以
为直径的圆恒过坐标原点
.问是否存在一个定圆与动直线
总相切.若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x﹣2.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)当x∈[ ,
]时,求函数f(x)的最大值,最小值.
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【题目】某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如下(注:图中幸福指数低于70,说明孩子幸福感弱;幸福指数不低于70,说明孩子幸福感强).
(Ⅰ)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断能否有
的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关?
(Ⅱ)从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样,共抽取5人,又在这5人中随机抽取2人进行家访,求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.
参考公式: ; 附表:
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【题目】已知定义在R的奇函数满足
,且
时,
,下面四种说法①
;②函数
在[-6,-2]上是增函数;③函数
关于直线
对称;④若
,则关于
的方程
在[-8,8]上所有根之和为-8,其中正确的序号__________。
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