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三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设分别为线段的中点,为线段上的点,且.

(1)证明:为线段的中点;
(2)求二面角的余弦值.

(1)证明详见解析;(2).

解析试题分析:根据侧视图和俯视图可知,为正三角形,顶点D在底面内的射影为BD的中点O,所以两两互相垂直,故可以为坐标轴建立坐标系如图所示.(1),为了证明点P是BC的中点,只需利用向量证明即可.(2)利用向量求出平面PMN和平面ABC的法向量,求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.

试题解答:取BD的中点O,建坐标系如图所示,则,设(1)证明:设,则.因为,所以点P是BC的中点.

(2)易平面PMN的法向量为.,设平面ABC的法向量为,则,所以.
【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系;2、二面角.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在四棱锥中,⊥底面,底面  
为正方形,分别是的 中点.
(1)求证:平面
(2)求证:
(3)若是线段上一动点,试确定点位置,
使平面,并证明你的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在四棱柱中,已知平面平面,.
(1) 求证:
(2) 若为棱上的一点,且平面,求线段的长度

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在直三棱柱中-A BC中,AB  AC,AB=AC=2,=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线所成角的余弦值;
(2)求平面所成二面角的正弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,四边形都为矩形。

(Ⅰ)若,证明:直线平面
(Ⅱ)设分别是线段的中点,在线段上是否存在一点,使直线平面?请证明你的结论。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.

(1)证明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱锥A′-MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.
(1)求证:AB1⊥面A1BD;
(2)求二面角A-A1D-B的余弦值;
(3)求点C到平面A1BD的距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(2012•广东)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)证明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B﹣PC﹣A的正切值.

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科目:高中数学 来源: 题型:填空题

四面体ABCD中,有如下命题:①若AC⊥BD,AB⊥CD,则AD⊥BC;
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小;
③若四面体ABCD有内切球,则
④若四个面是全等的三角形,则ABCD为正四面体。
其中正确的是:  (填上所有正确命题的序号)

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