Question

已知三次函数f（x）=4x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）如果f（x）是奇函数，过点（2，10）作y=f（x）图象的切线l，若这样的切线有三条，求实数b的取值范围；
（2）当-1≤x≤1时有-1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．

Answer 1

分析：（1））由于f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x）解得a=c=0；设切点为P（t，4t³+bt），利用导数得到切线的斜率，得到切线l的方程为y-（4t³+bt）=（12t²+b）（x-t），
把点（2，10）代人得到关于t的三次方程；要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，利用导数即可得出又三个实数根的充要条件，解出即可．
（2）由题意，当x=±1，±

1

2

时，均有-1≤f（x）≤1，利用上述条件即可得出a，b，c的值，再利用导数加以证明即可．

解答：解 （1）∵f（x）是奇函数，∴由f（-x）=-f（x）得a=c=0，
∴f（x）=4x³+bx，f^′（x）=12x²+b．
设切点为P（t，4t³+bt），则切线l的方程为y-（4t³+bt）=（12t²+b）（x-t），
由于切线l过点（2，10），∴10-（4t³+bt）=（12t²+b）（2-t），整理得b=4t³-12t²+5，
令g（t）=4t³-12t²+5-b，则g′（t）=12t²-24t=12t（t-2），
∴g（t）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，
g（t）=0有三个实数根，当且仅当g（0）＞0，且g（2）＜0，解得-11＜b＜5．
（2）由题意，当x=±1，±

1

2

时，均有-1≤f（x）≤1，故
-1≤4+a+b+c≤1，①
-1≤-4+a-b+c≤1，
即-1≤4-a+b-c≤1，②
-1≤

1

2

+

a

4

+

b

2

+c≤1，③
-1≤-

1

2

+

a

4

-

b

2

+c≤1，
即-1≤

1

2

-

a

4

+

b

2

-c≤1，④
①+②得-2≤8+2b≤2，从而b≤-3；
③+④得-2≤1+2b≤2，从而b≥-3，故b=-3．
代入①②③④得a+c=0，

a

4

+c=0，从而a=c=0．
下面证明：f（x）=4x³-3x满足条件．
事实上，f′（x）=12x²-3=3（2x+1）（2x-1），所以f（x）在（-1，-

1

2

）上单调递增，在（-

1

2

，

1

2

）上单调递减，在（

1

2

，1）上单调递增，
而f（-1）=-1，f（-

1

2

）=1，f（

1

2

）=-1，f（1）=1，所以当-1≤x≤1时 f（x）满足-1≤f（x）≤1．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、切线方程、三次方程由三个实数根的充要条件及函数的奇偶性等基础知识与方法，要求有较强的推理能力和计算能力．