Question

5．sinx+siny=$\frac{1}{3}$，cosx-cosy=$\frac{1}{5}$，求sin（x-y）与cos（x+y）的值．

Answer 1

分析 将条件进行平方，然后相加，即可得到cos（x+y）的值．利用三角函数的和差化积公式即可求sin（x-y）．

解答 解：∵sinx+siny=$\frac{1}{3}$，cosx-cosy=$\frac{1}{5}$，
∴平方得sin²x+sin²y+2sinxsinx=$\frac{1}{9}$，①
cos²x+cos²y-2cosxcosy=$\frac{1}{25}$，②
①+②得2+2sinxsinx-2cosxcosy=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$=$\frac{34}{225}$，
即-2cos（x+y）=$\frac{34}{225}$-2=-$\frac{416}{225}$，
即cos（x+y）=$\frac{208}{225}$，
∵sinx+siny=2sin$\frac{x+y}{2}$cos$\frac{x-y}{2}$=$\frac{1}{3}$，③
cosx-cosy=-2sin$\frac{x+y}{2}$sin$\frac{x-y}{2}$=$\frac{1}{5}$，④，
④÷③得$\frac{sin\frac{x-y}{2}}{cos\frac{x-y}{2}}=-\frac{3}{5}$，
即tan$\frac{x-y}{2}$=-$\frac{3}{5}$，
则sin（x-y）=sin（2•$\frac{x-y}{2}$）=2sin$\frac{x-y}{2}$•cos$\frac{x-y}{2}$=$\frac{2sin\frac{x-y}{2}•cos\frac{x-y}{2}}{si{n}^{2}\frac{x-y}{2}+co{s}^{2}\frac{x-y}{2}}$=$\frac{2tan\frac{x-y}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{x-y}{2}}$=$\frac{2×（-\frac{3}{5}）}{1+（-\frac{3}{5}）^{2}}$=-$\frac{15}{17}$，

点评 本题主要考查两角和的余弦公式的计算，要求熟练掌握两角和的公式，考查学生的计算能力．综合性较强，运算量较大．