Question

已知f(x)=sinωx(sinωx+

3

cosωx)-

1

2

，(x∈R，ω＞0)，若f(x)的最小正周期为2π．
（I）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；
（II）求f(x)在区间[-

π

6

，

5π

6

]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和与差的正弦将f（x）=sinωx（sinωx+

3

cosωx）-

1

2

化简为f（x）=sin（2ωx-

π

3

），由其最小正周期为2π，可求得ω，从而可求f（x）的表达式；由正弦函数的单调性即可求得
f（x）的单调递增区间；
（II））由-

π

6

≤x≤

5π

6

-可求得

π

3

≤x-

π

6

≤

2π

3

，由正弦函数的单调性即可求得其最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=sinωx（sinωx+

3

cosωx）-

1

2

=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx-

π

3

）…3′
又f（x）的周期为2π，2π=

2π

2ω

⇒ω=

1

2

，…4′
∴f（x）=sin（x-

π

6

）…5′
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）⇒2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

（k∈Z），
即f（x）的单调递增区间为[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z），…7′
（2）∵-

π

6

≤x≤

5π

6

，
∴-

π

3

≤x-

π

6

≤

2π

3

，…8′
∴当x-

π

6

=

π

2

，即x=

2π

3

时，f（x）_max=1；
当x-

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

6

时，f（x）_min=-

3

2

，…12′
∴当x=

2π

3

时，f（x）_max=1；当x=-

π

6

时，f（x）_min=-

3

2

…13

点评：本题考查两角和与差的正弦，考查正弦函数的单调性、周期性与最值，求得f（x）的解析式是关键，属于中档题．