Question

已知等比数列{a_n}的前n项和是S_n，S₁₈：S₉=7：8
（Ⅰ）求证：S₃，S₉，S₆依次成等差数列；
（Ⅱ）a₇与a₁₀的等差中项是否是数列{a_n}中的项？，如果是，是{a_n}中的第几项？如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）易得公比q≠1，进而可由等比数列的求和公式结合已知可得q的方程，再代入求和公式可得S₃，S₉，S₆的值，验证可得2S₉=S₃+S₆，可得等差数列；
（Ⅱ）可得等差中项等于

a1

16

，结合通项公式可得n的方程，解方程可得．

解答： 解：（Ⅰ）证明：设等比数列{a_n}的公比为q，
若q=1，则S₁₈=18a₁，S₉=9a₁，不满足S₁₈：S₉=7：8，故q≠1；
∴S₁₈=

a1

1-q

（1-q¹⁸），S₉=

a1

1-q

（1-q⁹），
∵S₁₈：S₉=7：8，∴1+q⁹=

7

8

，解得q³=-

1

2

，
∴S₃=

a1

1-q

（1-q³）=

3

2

•

a1

1-q

，
同理可得S₉=

9

8

•

a1

1-q

，S₆=

3

4

•

a1

1-q

，
∴2S₉=S₃+S₆，
∴S₃，S₉，S₆依次成等差数列；
（Ⅱ）∵a₇与a₁₀的等差中项等于

a7+a10

2

=

a1(2-2-2-3)

2

=

a1

16

，
设a₇与a₁₀的等差中项是否是数列{a_n}中的第n项，则a₁（-2-

1

3

）^n-1=

a1

16

，
化简可得(-2)-

n-1

3

=（-2）^-4，即-

n-1

3

=-4，解得n=13，
∴a₇与a₁₀的等差中项是否是数列{a_n}中的第13项

点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．