Question

已知z是复数，z+3i、

z

3-i

均为实数（i为虚数单位），
（1）求复数z；
（2）求一个以z为根的实系数一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）设z=x+yi（x、y∈R），根据z+3i、

z

3-i

均为实数可求出x与y的值，从而求出所求；
（2）若实系数一元二次方程有虚根z=9-3i，则必有共轭虚根

.

z

=9+3i，求出z+

.

z

与z•

.

z

根据根与系数的关系可得一个以z为根的实系数一元二次方程．

解答：解：（1）设z=x+yi（x、y∈R），
z+3i=x+（y+3）i，由题意得 y=-3．…（3分）

z

3-i

=

x-3i

3-i

=

1

10

(3x+3)+

1

10

(x-9)i
由题意得x=9．∴z=9-3i．…（7分）
（2）若实系数一元二次方程有虚根z=9-3i，则必有共轭虚根

.

z

=9+3i．…（10分）
z+

.

z

=18，z•

.

z

=90，…（12分）
∴所求的一个一元二次方程可以是x²-18x+90=0．…（14分）

点评：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及根与系数的关系，同时考查了共轭复数等基本概念，属于基础题．