Question

在△ABC中，已知C=

3π

4

，cos2B=

1

2

+sin²A．
（Ⅰ）求tanB；
（Ⅱ）若BC=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）由题意和内角和定理求出A=

π

4

-B，代入cos2B=

1

2

+sin²A，利用二倍角的余弦公式化简，求出tanB；
（Ⅱ）由同角三角函数的基本关系求出sinB、cosB，再由两角差的正弦公式求出sinA，由正弦定理求出BC，代入面积公式求出△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由C=

3π

4

得，A=π-B-C=

π

4

-B，
所以cos2B=

1

2

+sin²A=

1

2

+sin²（

π

4

-B）=

1

2

+

1

2

[1-cos（

π

2

-2B）]，
则 1-2sin2B=1-

1

2

sin2B=1-sinBcosB，
即2sin²B=sinBcosB，
因为0＜B＜

π

4

，所以sinB＞0，
所以tanB=

1

2

；
（Ⅱ）由0＜B＜

π

4

，tanB=

1

2

得，

sinB cosB = 1 2 sin2B+cos2B=1

，
解得sinB=

5

5

，cosB=

2 5

5

，
所以sinA=sin（

π

4

-B）=sin

π

4

cosB-cos

π

4

sinB
=

2

2

（

2 5

5

-

5

5

）=

10

10

，
由正弦定理得，

AC

sinB

=

BC

sinA

，所以AC=

BC•sinB

sinA

=

2× 5 5

10 10

=2

2

．
所以△ABC的面积S=

1

2

AC•BCsinC=2．

点评：本题考查正弦定理、三角形的面积公式，以及三角恒等变换的公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键．