Question

20．已知以点P为圆心的圆经过点A（-1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且$|CD|=2\sqrt{10}$．
（1）求直线CD的方程； 
（2）求圆P的方程．

Answer 1

分析 （1）先求得直线AB的斜率和AB的中点，进而求得CD斜率，利用点斜式得直线CD 方程．
（2）设出圆心P的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定a和b的等式综合求得a和b，则圆的方程可得．

解答 解：（1）∵直线AB的斜率k=1，AB的中点坐标为（1，2）…（4分）
∴直线CD的方程为x+y-3=0…（6分）
（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上，得a+b-3=0．①
又∵直径$|CD|=2\sqrt{10}$，∴$|PA|=\sqrt{10}$，∴（a+1）²+b²=10．②…（8分）
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$，∴圆心P（0，3）或P（2，1）…．．（10分）
∴圆P的方程为x²+（y-3）²=10或（x-2）²+（y-1）²=10…（12分）

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．