Question

如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　　）

• A、（0，

  3

  ]
• B、（

  2

  2

  ，2]
• C、（

  3

  ，2

  3

  ]
• D、（2，4]

Answer 1

分析：由已知条件推导出，AD=CD=BD=

x2+1

2

，BC=x，取BC中点E，翻折前DE=

1

2

AC=

1

2

，翻折后AE=

1- 1 4 x2

，AD=

x2+1

2

，从而求出0＜x＜

3

．翻折后，当△B₁CD与△ACD在一个平面上，∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×

3

=

3

，由此能求出x的取值范围为（0，

3

]．

解答：解：由题意得，AD=CD=BD=

x2+1

2

，BC=x，取BC中点E，
翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=

1

2

AC=

1

2

，
翻折后，在图2中，此时 CB⊥AD．
∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，
∴BC⊥AE，DE⊥BC，
又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，
∴AE=

1- 1 4 x2

，AD=

x2+1

2

，
在△ADE中：①

x2+1

2

+

1

2

＞

1- 1 4 x2

，②

x2+1

2

＜

1

2

+

1- 1 4 x2

，③x＞0；
由①②③可得0＜x＜

3

．
如图3，翻折后，当△B₁CD与△ACD在一个平面上，
AD与B₁C交于M，且AD⊥B₁C，AD=B₁D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B₁CD，
又∠CBD+∠BCD+∠B₁CD=90°，
∴∠CBD=∠BCD=∠B₁CD=30°，
∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×

3

=

3

综上，x的取值范围为（0，

3

]，
故选：A．

点评：本题考查线段长的取值范围的求法，要熟练掌握翻折问题的性质，注意培养空间思维能力．