Question

11．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n+1=S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．根据上述条件可归纳出这个数列的通项公式为a_n=$\frac{2-n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n+1=S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），可得S₁；S₂；可以猜想：S_n，即可猜想此数列的通项公式．．

解答 解：在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n+1=S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），
∴2S₂=1，∴S₂=$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4}$，
2S₃=S₂+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，∴S₃=$\frac{3}{8}$；
…于是猜想：S_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴猜想此数列的通项公式a_n=S_n-S_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2-n}{{2}^{n}}$．
故答案为：$\frac{2-n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了用递推公式，通过归纳推理，求数列的前n项和为S_n，需要有一定的计算能力和归纳猜想能力．