Question

12．在直角坐标系中，圆C的方程是x²+y²-4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C₁：ρ=-4$\sqrt{3}$sinθ与圆C相交于A，B两点．
（1）求曲线C₁和直线AB的直角坐标方程；
（2）若过圆心C的直线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线${C_1}：ρ=-4\sqrt{3}sinθ$，所以${ρ^2}=-4\sqrt{3}ρsinθ$，利用互化公式可得直角坐标方程，与曲线C的方程为联立相减可得直线AB的方程．
（2）联立${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$与直线AB的方程$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$可得t_D．理联立${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$与y轴方程可得t_E，即可得出．

解答 解：（1）曲线${C_1}：ρ=-4\sqrt{3}sinθ$，所以${ρ^2}=-4\sqrt{3}ρsinθ$，
即${x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}y=0$…（2分）   又曲线C的方程为：x²+y²-4x=0．
所以直线AB的方程为：${x^2}+{y^2}-4x-（{x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}y）=0$，即$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．…5分
（2）联立${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$与直线AB的方程$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$可得${t_D}=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
所以$|{CD}|=|{t_D}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…（7分）
理联立${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$与y轴方程可得${t_E}=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
所以$|{CE}|=|{t_E}|=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$…（9分） 
 所以|CD|：|CE|=1：2．…（10分）

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．