Question

17．过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（　　）

• A． -1
• B． -2
• C． -3
• D． -4

Answer 1

分析 由抛物线y²=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答 解：由题意知，抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁+x₂=1，y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]'
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+k（x₁-1）•k（x₂-1）=-3．
故选：C．

点评 题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题．