Question

已知抛物线D的顶点是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线D的方程；
（2）已知直线l过点P（4，0）交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线x=m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出直线x=m的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定椭圆的几何量，求出抛物线的焦点坐标，即可得到抛物线D的方程；
（2）确定M的坐标，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，故|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）
椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中a²-b²=4-3=1，得c=1，∴抛物线的焦点为（1，0），
∴

p

2

=1，∴p=2，
∴抛物线D的方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），则圆心M（

x1+4

2

，

y1

2

），
过M作直线x=m的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=

(x1-4)2+y12

4

-（

x1+4

2

-m）²=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+m（x₁+4）-m²
=（m-3）x₁+4m-m²，
当m=3时，|EG|²=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2

3

因此存在直线x=3满足题意．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解，属于中档题．