Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱BC的中点．在正方体表面ABB₁A₁上是否存在点N，使D₁N⊥平面B₁AE？请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：建立坐标系，求出平面B₁AE的一个法向量，观察能否找到N点使

D1N

与法向量共线即可．

解答： 解：建立坐标系D-xyz，则A（2，0，0），B₁（2，2，2），E（1，2，0），D₁（0，0，2），设N（2，b，c）
所以

AE

=（-1，2，0），

AB1

=（0，2，2），

D1N

=（2，b，c-2）
设平面B₁AE的一个法向量为

n

=（x，y，z），所以

AE • n =0 AB1 • n =0

，即

-x+2y=0 2y+2z=0

，取y=1，得平面B₁AE的一个法向量

n

=（2，1，-1），
假设在正方体表面ABB₁A₁上存在点N，使D₁N⊥平面B₁AE，则

D1N

∥

n

，所以b=2-c，取c=1则b=1，
所以假设正确，在正方体表面ABB₁A₁上存在点N，使D₁N⊥平面B₁AE．

点评：本题考查了利用空间向量求平面的法向量，借助于向量垂直的性质解答，体现了向量的工具性．