Question

已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：3x-3y-1=0交椭圆C与A、B两点，若T（0，1）求证：|

TA

+

TB

|=|

TA

-

TB

|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆C的方程，利用椭圆C过点过（0，1），（1，

2

2

），建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由|

TA

+

TB

|=|

TA

-

TB

|两边平方整理可得

TA

•

TB

=0，故只需证明

TA

•

TB

=0，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量的数量积即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为mx²+ny²=1（m＞0．n＞0）
由椭圆C过点过（0，1），（1，

2

2

）得：

m+ 1 2 n=1 m=1

，解得

m= 1 2 n=1

∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

3x-3y-1=0 x2 2 +y2=1

消去y整理得27x²-12x-16=0，
由韦达定理得

x1+x2= 4 9 x1x2=- 16 27

由|

TA

+

TB

|=|

TA

-

TB

|两边平方整理可得

TA

•

TB

=0，故只需证明

TA

•

TB

=0

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
而y1y2=(x1-

1

3

)(x2-

1

3

)=x1x2-

1

3

(x1+x2)+

1

9

y1+y2=x1-

1

3

+x2-

1

3

=x1+x2-

2

3

∴

TA

•

TB

=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=2x1x2-

4

3

(x1+x2)+

16

9

=-

32

27

-

16

27

+

16

9

=0
故|

TA

+

TB

|=|

TA

-

TB

|恒成立

点评：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，正确运用韦达定理．