Question

如图，几何体SABC的底面是由以AC为直径的半圆O与△ABC组成的平面图形，SO⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=SB=SC=A C=4，BC=2．
（l）求直线SB与平面SAC所成角的正弦值；
（2）求几何体SABC的正视图中△S₁A₁B₁的面积；
（3）试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得AP⊥SB，若存在，说明点P的位置并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理及线面角的定义即可求出；
（2）由（1）可知：A₁B₁=AH，而可证明SO为高，进而即可求出面积；
（3）利用线面垂直的判定定理和性质定理及圆心角定理即可得出．

解答：解：（1）如图1过点B作BH⊥AC于点H，连接SH．
∵SO⊥平面ABC，BH?平面ABC，
∴BH⊥SO．
又SO∩AC=O，
∴BH⊥平面SAC，
即∠BSH就是直线SB与平面SAC所成角．
在△ABC中，∵AB⊥BC，AC=4，BC=2，
∴∠ACB=60°，BH=2sin60°=

3

．
在Rt△BSH中，∵SB=4，
∴sin∠BSH=

BH

SB

=

3

4

，
即直线SB与平面SAC所成角的正弦值为

3

4

．
（2）由（1）知，几何体SABC的正视图中，△S₁A₁B₁的边A1

B

1

=AH=AC-HC，
而HC=2cos60°=1，∴A1

B

1

=3．
又△S₁A₁B₁的边A₁B₁上的高等于几何体SABC中SO的长，而SA=SC=AC=4，∴SO=2

3

，
∴S△S1A1B1=

1

2

×3×2

3

=3

3

．
（3）存在．
证明如下：
如图2，连接BO并延长交弧AC于点M，
在底面内，过点A作AP⊥BM交弧AC于点P．          
∵SO⊥平面ABC．
而AP?平面ABC，∴AP⊥SO．         
又∵AP⊥BM，SO∩BM=O，
∴AP⊥平面SOB，从而AP⊥SB． 
又∵AO=OC=BC=2，∴∠AOM=∠BOC=∠ACB=60°，
∴∠AOM=∠POM=60°，∠AOP=120°，
即点P位于弧AC的三等分的位置，且∠AOP=120°．

点评：熟练掌握用线面垂直的判定定理和性质定理及线面角的定义、三角形的面积公式、圆心角定理是解题的关键．