Question

1．正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，若正棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，求此球的表面积．

Answer 1

分析 画出图形，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，记为O，求出PO₁，OO₁，解出球的半径，求出球的表面积．

解答 解：∵正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，
∴正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
记球心为O，PO=AO=R，
∵正棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，
∴AO₁=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16}$=2$\sqrt{2}$，
∴PO₁=$\sqrt{9-8}$=1，OO₁=R-1（此时O在PO₁的延长线上），
在Rt△AO₁O中，R²=8+（R-1）²，
解得R=$\frac{9}{2}$，∴球的表面积S=$4π×（\frac{9}{2}）^{2}$=81π．
故答案为：81π．

点评 本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．