Question

已知函数f(x)=

x3 x+1 ，  ( 1 2 ＜x≤1) - 1 6 x+ 1 12 ， (0≤x≤ 1 2 )

和函数g(x)=asin

π

6

x-a+1(a＞0)，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• B．[1，2）
• C．[

  1

  2

  ，2]
• D．[1，

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：根据已知函数f（x）的定义域，求出其值域，对于g（x）利用导数求出其值域，已知存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值；

解答：解：函数f(x)=

x3 x+1 ，  ( 1 2 ＜x≤1) - 1 6 x+ 1 12 ， (0≤x≤ 1 2 )

，
当

1

2

＜x≤1时，f（x）=

x3

x+1

，f′（x）=

3x2(x+1)-x3

(x+1)2

=

2x3+3x2

(x+1)2

＞0，
f（x）为增函数，∴f（

1

2

）＜f（x）≤f（1），
∴f（x）∈（

1

12

，

1

2

]；
当0≤x≤

1

2

时，f（x）=-

1

6

x+

1

12

，为减函数，
∴f（

1

2

）≤f（x）≤f（0），
∴f（x）∈[0，

1

12

]，
综上：f（x）∈[0，

1

2

]；
函数g(x)=asin

π

6

x-a+1(a＞0)，g′（x）=

aπ

6

cos

π

6

x，0≤

π

6

x≤

π

6

，
∴g′（x）＞0；
g（x）为增函数，g（0）≤g（x）≤g（1），
∴g（x）=[1-a，1-

a

2

]，
∵存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值，
∴

1- a 2 ≥0 1-a≤ 1 2

解得

1

2

≤a≤2，
故选C；

点评：此题主要考查函数的存在性问题，一般与恒成立问题一个类型，知识点比较全面，是一道中档题，也是一道好题；