Question

以F₁、F₂为焦点的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一动点P，当∠F₁PF₂最大时∠PF₁F₂的正切值为2，则此椭圆离心率e的大小为

 

．

Answer 1

分析：易知当∠F₁PF₂最大时P为椭圆的短轴的端点，∠PF₁F₂的正切值为2，即

b

c

=2，再结合a²=b²+c²求得a，c的关系即可．

解答：解：当∠F₁PF₂最大时P为椭圆与y轴的交点，
∵∠PF₁F₂的正切值为2，即

b

c

=2?b=2c，
∵a²=b²+c²
∴a²=5c²
∴

c2

a2

=

1

5

∴e=

5

5

故答案为：

5

5

．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，主要是通过焦点三角形，来探讨a，b，c的关系来考查离心率等，要注意∠F₁PF₂最从长轴端点向短轴端点移动中变不断变大，到短轴端点达到最大．