Question

已知点P是椭圆上的动点，F₁（-c，0）、F₂（c，0）为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则|OM|的取值范围是（ ）
A．（0，c）
B．（0，a）
C．（b，a）
D．（c，a）

Answer 1

【答案】分析：利用M是∠F₁PF₂平分线上的一点，且F₁M⊥MP，判断OM是三角形F₁F₂N的中位线，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．
解答：解：如图，延长PF₂，F₁M，交与N点，∵PM是∠F₁PF₂平分线，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M为F₁F₂中点，
连接OM，∵O为F₁F₂中点，M为F₁N中点
∴|OM|=|F₂N|=||PN|-|PF₂||=||PF₁|-|PF₂||
∵在椭圆 中，设P点坐标为（x，y）
则|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex-a+ex|=|2ex|=|x|
∵P点在椭圆 上，
∴|x|∈（0，a]，
又∵当|x|=a时，F₁M⊥MP不成立，∴|x|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故选A．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．