Question

20．随州市某处有如图所示的A、B、C、D四个景点，目前AD、AB、DC之间已修建公路，市政府为了更好发展随州的旅游产业，决定新修建两条公路用以连接B、D两景点和B、C两景点．现测得AD=5km，AB=7km，∠ADB=60°，∠ADC=105°，∠CBD=15°
（Ⅰ）求公路BD的长度；
（Ⅱ）求公路BC的长度．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理只要解三角形ABD即可；
（2）利用正弦定理解三角形BCD．

解答 解：（Ⅰ）在△ABD中，设BD=x，则AB²=BD²+AD²-2BD•AD•cos∠BDA，
即7²=5²+x²-10xcos60°，整理得到x²-5x-24=0，解得x=8，x=-3（舍去），
所以公路BD的长度为8km；
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理得到$\frac{BD}{sin∠BCD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，其中BD=8，∠BDC=∠ADC-∠ADB=105°-60°=45°，∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=180°-15°-45°=120°，
所以$\frac{8}{sin120°}=\frac{BC}{sin4{5°}^{\;}}$，所以BC=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，所以公路BC的长度为$\frac{8\sqrt{6}}{3}$km．

点评 本题考查了解三角形的实际应用；关键是将所求转化为解三角形的问题解答．