Question

下列结论中：
①定义在R上的任一函数，总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和；
②若f（3）=f（-3），则函数f（x）不是奇函数；
③对应法则和值域相同的两个函数的定义域也相同；
④若x₁是函数f（x）的零点，且m＜x₁＜n，那么f（m）•f（n）＜0一定成立．
其中正确的是

①

（把你认为正确的序号全写上）．

Answer 1

分析：①利用函数奇偶性性质判断．②根据奇函数的性质判断．③根据定义域和值域之间的关系判断．④根据根的存在性定理进行判断．

解答：解：①设f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
两式联立得，g（x）=

f(x)-f(-x)

2

，h(x)=

f(x)+f(-x)

2

，所以①正确．
②若函数f（x）是奇函数，则有f（-3）=-f（3），若f（3）=f（-3），则必有f（3）=f（-3）=0，所以当f（3）=f（-3）=0，函数有可能是奇函数，所以②错误．
③当函数的定义域和对应法则相同时，函数的值域相同，但值域相同时，定义域不一定相同，
比如函数f（x）=x²，当定义域为[0，1]时，值域为[0，1]，当定义域为[-1，1]时，值域为[0，1]，所以③错误．
④若x₁是函数f（x）的零点，则根据根的存在性定理可知，f（m）•f（n）＜0不一定成立，比如函数f（x）=x²的零点是0，但f（m）•f（n）＞0，所以④错误．
故答案为：①

点评：本题主要考查函数的性质和应用，考查函数的奇偶性和根的存在性定理的应用，比较综合．