Question

5．如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的底面边长为3，侧棱长为4，连接A₁B，过A作AF⊥A₁B垂足为F，且AF的延长线交B₁B于E．
（1）求证：D₁B⊥平面AEC；
（2）求三棱锥B-AEC的体积；
（3）求二面角B-AE-C的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出BE=$\frac{9}{4}$，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D₁B⊥平面AEC．
（2）由V_B-AEC=V_E-ABC，利用等积法能求出三棱锥B-AEC的体积．
（3）求出平面AEC的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角B-AE-C的大小．

解答 （1）证明：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的底面边长为3，侧棱长为4，
连接A₁B，过A作AF⊥A₁B垂足为F，且AF的延长线交B₁B于E，
∴A₁B=$\sqrt{16+9}$=5，AF=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴cos∠BAE=$\frac{\frac{12}{5}}{3}$=$\frac{4}{5}$，sin∠BAE=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠BAE=$\frac{3}{AE}$=$\frac{4}{5}$，解得AE=$\frac{15}{4}$，
∴sin∠BAE=$\frac{BE}{\frac{15}{4}}$=$\frac{3}{5}$，解得BE=$\frac{9}{4}$，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（3，0，0），B（3，3，0），E（3，3，$\frac{9}{4}$），D₁（0，0，4），C（0，3，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，3，$\frac{9}{4}$），$\overrightarrow{AC}$=（-3，3，0），$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（3，3，-4），
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{D}_{1}B}$=0+9-9=0，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{D}_{1}B}$=-9+9+0=0，
∴AE⊥D₁B，AC⊥D₁B，
又AE∩AC=A，∴D₁B⊥平面AEC．
（2）解：${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，
BE⊥平面ABC，且BE=$\frac{9}{4}$，
∴三棱锥B-AEC的体积：
V_B-AEC=V_E-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×BE$=$\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×\frac{9}{4}$=$\frac{81}{24}$．
（3）解：$\overrightarrow{AE}$=（0，3，$\frac{9}{4}$），$\overrightarrow{AC}$=（-3，3，0），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=3y+\frac{9}{4}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-3x+3y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{4}{3}$），
又平面ABE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角B-AE-C的平面角为α，
cosα=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{\frac{34}{9}}}$|=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．
∴α=arccos$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．
∴二面角B-AE-C的大小为arccos$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．

点评 本题考线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．