Question

（2013•肇庆一模）已知圆C的方程为x²+y²+2x-7=0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L的方程；
（2）过点B（1，

1

2

）能否作出直线l₂，使l₂与轨迹L交于M、N两点，且点B是线段MN的中点，若这样的直线l₂存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，可得|QP|=QA|．又|PQ|+|QC|=2

2

，可得|QA|+|QC|=2

2

＞AC=2．利用椭圆的定义可知点Q的轨迹L为椭圆；
（2）假设直线l₂存在，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分别代入

x2

2

+y2=1，利用“点差法”、中点坐标公式及斜率公式即可得出直线l₂的方程；与椭圆方程联立即可解得交点坐标．

解答：解：（1）如图，由已知圆C的方程x²+y²+2x-7=0，化为（x+1）²+y²=8，可得圆心C（-1，0），半径r=2

2

，点A（1，0）．
∵点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，∴|QP|=QA|．
又∵|PQ|+|QC|=2

2

，∴|QA|+|QC|=2

2

＞AC=2．
∴点Q的轨迹是以O为中心，C，A为焦点的椭圆，
∵c=1，a=

2

，∴b=

a2-c2

=1，
∴点Q的轨迹L的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）假设直线l₂存在，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分别代入

x2

2

+y2=1得

x 2 1 2 + y 2 1 =1 x 2 2 2 + y 2 2 =1

，
两式相减得

(x1-x2)(x1+x2)

2

=-(y1-y2)(y1+y2)，即

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

×

x1+x2

y1+y2

．
由题意，得x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
∴

y1-y2

x1-x2

=-1，即k_MN=-1．
∴直线l₂的方程为y=-x+

3

2

．
由

x2 2 +y2=1 y=-x+ 3 2

得6x²-12x+5=0．
∵点B在椭圆L内，
∴直线l₂的方程为y=-x+

3

2

，它与轨迹L存在两个交点，
解方程6x²-12x+5=0得x=1±

6

6

．
当x=1+

6

6

时，y=

1

2

-

6

6

；当x=1-

6

6

时，y=

1

2

+

6

6

．
所以，两交点坐标分别为(1+

6

6

，

1

2

-

6

6

)和(1-

6

6

，

1

2

+

6

6

)．

点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．