Question

设集合A={x|1＜x＜3}，又设B是关于x的不等式组

x2-2x+a≤0 x2-2bx+5≤0

的解集，试确定a，b的范围，使得A⊆B．

Answer 1

分析：先把不等式组中的两个不等式坐标分别设为两个二次函数则不等式组即为两个函数值为非正数，由二次项的系数大于0得到两个二次函数的开口向上，根据A是B的子集可知两个二次函数与x轴有两个交点得到根的判别式大于0，且得到f（1），f（3），g（1），
g（3）都小于等于0，分别列出关于a与b的不等式，求出解集即可得到a与b的范围．

解答：解：设f（x）=x²-2x+a，g（x）=x²-2bx+5
因为A⊆B，A={x|1＜x＜3}，
所以f（x）与g（x）都有x轴有两个交点即△=（-2）²-4a＞0，解得a＜1；△=（-2b）²-20＞0，解得b＞

5

或b＜-

5

，
且f（1）≤0，f（3）≤0，即1-2+a≤0且9-6+a≤0，解得a≤-3；且g（1）≤0，g（3）≤0即1-2b+5≤0且9-6b+5≤0，解得b≥3．
所以满足条件的a，b的范围为：a≤-3，b≥3．

点评：本题属于以二次函数的图象及集合的包含关系为平台考查了一元二次不等式的解法，是一道中档题．