Question

【题目】（1）若个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求的最小值，并说明理由；

（2）若个棱长为正整数的正方体的体积之和等于，求的最小值，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）4（2）4

【解析】

（1）因为，

所以，存在，使.

又，，，，且，则.

若，因，则最大正方体的棱长只能为11或12.

而，，

由674与277均不是完全立方数，故不可能.

若，设此3个正方体中最大一个的棱长为.由，知最大正方体的棱长只能为9、10、11或12.

而，，，故；

，，

，，

故；

，，

，，

故；

，，

，

故，

所以，不可能.

综上所述，.

（2）设个正方体的棱长分别是，则

. ①

由，，得

. ②

又当时，，，所以，

，，

. ③

式①模9，并由式②、③可知.

而，

则

.

故为所求的最小值.