Question

14．下列结论：
①若命题p：存在x∈R，tan x=2；命题q：任意x∈R，x²-x+$\frac{1}{2}$＞0．则命题“p且（非q）”是假命题；
②已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是$\frac{a}{b}$=-3；
③设F₁，F₂是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂的最小内角为30°，则C的离心率为$\sqrt{3}$．
④设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，则当$\frac{xy}{z}$取得最大值时，$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{2}{z}$的最大值为1．
其中正确结论的序号为①③④．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①利用正切函数的性质可知：命题p是真命题；对于命题q：利用二次函数的单调性是真命题．利用复合命题的真假判定方法即可判断出：命题“p∧（￢q）”是假命题；
②对a，b，分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可判断出正误；
③不妨设|PF₁|＞|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=6a，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由于2a＜2c，可知：|PF₂|为最小边，利用余弦定理及其椭圆的性质即可得出；
④由正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，则$\frac{xy}{z}$=$\frac{xy}{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}$≤$\frac{xy}{4xy-3xy}$=1，当且仅当x=2y，z=xy时取等号，即可得出$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{2}{z}$的最大值．

解答 解：①命题p：存在x∈R，tanx=2，是真命题；命题q：任意x∈R，x²-x+$\frac{1}{2}$=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$＞0，是真命题．则命题“p∧（￢q）”是假命题，正确；
②直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，当a=0，b=0时，直线分别化为：3y-1=0，x+1=0，此时两条直线相互垂直．当a=0，b≠0或a≠0，b=0时，lt 此时两条直线不相互垂直．当a≠0，b≠0时，直线斜率分别为：-$\frac{a}{3}$，-$\frac{1}{b}$，由于两条直线相互垂直，可得：-$\frac{a}{3}$×（-$\frac{1}{b}$）=-1，化为$\frac{a}{b}$=-3．综上可得：l₁⊥l₂的充分不必要条件是$\frac{a}{b}$=-3，因此不正确；
③不妨设|PF₁|＞|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=6a，解得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，∵2a＜2c，∴|PF₂|为最小边，已知△PF₁F₂的最小内角为30°，
由余弦定理可得：（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×4a×2ccos30°，化为：e²-2$\sqrt{3}$e+3=0，解得e=$\sqrt{3}$，则C的离心率为$\sqrt{3}$，正确．
④设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，则$\frac{xy}{z}$=$\frac{xy}{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}$≤$\frac{xy}{4xy-3xy}$=1，当且仅当x=2y，z=xy时取等号，此时$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{2}{z}$=$\frac{1}{y}+\frac{1}{y}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$=-$（\frac{1}{y}-1）^{2}$+1≤1，
当x=2y=2，z=2时，取等号，则$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{2}{z}$的最大值为1．
其中正确结论的序号为 ①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了函数的性质、相互垂直的直线充要条件、椭圆的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．