Question

13．若α是第三象限角，且sin$\frac{α}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则tan$\frac{α}{2}$等于（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． -2
• D． -$\frac{1}{2}$或-2

Answer 1

分析 由条件判断$\frac{α}{2}$是第二象限角，求得cos$\frac{α}{2}$的值，可得tan$\frac{α}{2}$的值．

解答 解：∵α是第三象限角，
∴2kπ+π＜α＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，
∴kπ+$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，
∴$\frac{α}{2}$是第二或第四象限角．
再根据sin$\frac{α}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得$\frac{α}{2}$是第二象限角，
故cos$\frac{α}{2}$=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}$=-2．
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．