Question

1．已知AD是△ABC的角平分线，且△ABD的面积与△ACD的面积比为3：2．
（1）求$\frac{sinB}{sinC}$的值；
（2）若AD=3$\sqrt{2}$，∠C=2∠B，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式列式即可求出两三角形的面积的比值．
（2）利用已知及倍角公式可求cosB，即可求得sinB，sinC，cosC，cosA的值，进而可求sin∠BAD=sin$\frac{A}{2}$，由正弦定理可求得BD=$\frac{AD×sin∠BAD}{sinB}$=3，可求ED，BE，AE的值，求得S_△ABD，S_△ACD，即可得解△ABC的面积．

解答 解：（1）如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF，
∵△ABD的面积与△ACD的面积比为3：2．
∴S_△ABD：S_△ACD=（$\frac{1}{2}$AB•DE）：（$\frac{1}{2}$AC•DF）=AB：AC=3：2，解得：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{2}$，
∴利用正弦定理及比例的性质可得：$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$．
（2）∵C=2B，即，sinC=sin2B=2sinBcosB，又$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{2}{3}$，即sinC=$\frac{3sinB}{2}$，
∴2sinBcosB=$\frac{3sinB}{2}$，B为锐角，解得：cosB=$\frac{3}{4}$，
∴可得sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，sinC=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，cosC=cos2B=2cos²B-1=$\frac{1}{8}$，
∴cosA=-cos（B+C）=-（cosBcosC-sinBsinC）=-（$\frac{3}{4}×\frac{1}{8}$-$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{3\sqrt{7}}{8}$）=$\frac{9}{16}$，
∴sin∠BAD=sin$\frac{A}{2}$=$\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$，
∴在△ABD中，由正弦定理可得：BD=$\frac{AD×sin∠BAD}{sinB}$=$\frac{3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{8}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$=3．
∴△BDE中，ED=BDsinB=3×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$．
∴BE=BDcosB=3×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
AE=$\sqrt{A{D}^{2}-E{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-（\frac{3\sqrt{7}}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×ED=$\frac{1}{2}×$（AE+BE）×ED=$\frac{1}{2}×$（$\frac{15}{4}$+$\frac{9}{4}$）×$\frac{3\sqrt{7}}{4}$=$\frac{9\sqrt{7}}{4}$，S_△ACD=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
∴△ABC的面积=S_△ABD+S_△ACD=$\frac{9\sqrt{7}}{4}$+$\frac{3\sqrt{7}}{2}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，考查了三角形的面积公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，作出辅助线表示出三角形的面积是解题的关键，属于中档题．