Question

如图，在x轴上方有一段曲线弧Γ，其端点A、B在x轴上（但不属于Γ），对Γ上任一点P及点F₁（-1，0），F₂（1，0），满足：|PF1|+|PF2|=2

2

．直线AP，BP分别交直线l：x=a (a＞

2

)于R，T两点．
（1）求曲线弧Γ的方程；
（2）求|RT|的最小值（用a表示）；
（3）曲线Γ上是否存点P，使△PRT为正三角形？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义和简单性质求得 Γ的方程．
（2） 设出P，R，T的坐标，由A，P，R三点共线，得

y1

a+ 2

=

n

m+ 2

 ①，由B，P，T三点共线得：

y2

a- 2

=

n

m- 2

②，变形得即y1y2=

1

2

(2-a2)．利用基本不等式求出|RT|的最小值．
（3）设P（x₀，y₀），线AP，BP的斜率存在，分别设为k₁、k₂ ，由正三角形的性质得k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

3

，
而由椭圆的方程知

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

，矛盾，故不存在点P，使△PRT为正三角形．

解答：解：（1）由椭圆的定义，曲线Γ是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的半椭圆，c=1 ，  a=

2

 ，  b2=a2-c2=1，∴Γ的方程为

x2

2

+y2=1 (y＞0)．
（2）解：设P（m，n），R（a，y₁），T（a，y₂），则由A，P，R三点共线，得

y1

a+ 2

=

n

m+ 2

 ①，
同理，由B，P，T三点共线得：

y2

a- 2

=

n

m- 2

②，由①×②得：

y1y2

a2-2

=

n2

m2-2

．
由

m2

2

+n2=1?n2=1-

m2

2

，代入上式，

y1y2

a2-2

=

1- m2 2

m2-2

=-

1

2

．
即y1y2=

1

2

(2-a2)．
|RT|=|y1-y2|=

y 2 1 + y 2 2 -2y1y2

≥

2|y1y2|-2y1y2

=

2(a2-2)

，
当且仅当|y₁|=|y₂|，即y₁=-y₂时，取等号．
即|RT|的最小值是

2(a2-2)

．
（3）设P（x₀，y₀），依题设，直线l∥y轴，若△PRT为正三角形，则必有∠PAB=180°-∠PBx=30°，
从而直线AP，BP的斜率存在，分别设为k₁、k₂，由 k1=

y0

x0+ 2

=

3

3

；k2=

y0

x0- 2

=-

3

3

，
于是有k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

3

，而由椭圆的方程知

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

，矛盾．
∴不存在点P，使△PRT为正三角形．（14分）

点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，正确进行式子的运算是本题的难点．