Question

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（3）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的定义域，可令函数解析式的分母不为0，即可得到所求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，要用定义法，由函数解析式研究f（-x）与f（x）的关系，即可证明出函数的性质；
（3）此函数是一个减函数，由定义法证明要先任取定义域内两个实数x₁，x₂且x₁＜x₂，再两函数值作差，判断差的符号，再由定义得出结论．

解答：解：（1）由题意若函数f（x）=x+

1

x

的解析式有意义
自变量须满足x≠0，
所以函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）此函数是一个奇函数，证明如下
由（1）知函数的定义域关于原点对称，
又∵f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴函数是奇函数；
（3）此函数在（0，1）上是减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＜1，x₁•x₂-1＜0
f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂）（

x1•x2-1

x1•x2

）＞0
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
故函数在（0，1）上是减函数

点评：本题考查了求函数的定义域，对数的运算法则，判断函数的奇偶性，定义法证明函数单调性，正确解答本题，关键是熟练记忆函数的性质及这些性质判断的方法，其中判断函数的单调性是本题的难点，定义法判断函数的单调性，其步骤是；取，作差，判号，得出结论，其中判号这一步易疏漏，切记