正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B。
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角E—DF—C的余弦值;
(3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论.
解:(1)如图:在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF//AB,
又AB平面DEF,EF平面DEF. ∴AB∥平面DEF.
(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角
在Rt△EMN中,EM=1,MN=
∴tan∠MNE=,cos∠MNE=
(3)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE
证明如下:在线段BC上取点P。使,过P作PQ⊥CD与点Q,
∴PQ⊥平面ACD ∵在等边△ADE中,∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE
解析
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(本小题满分16分)
如图,多面体中,两两垂直,平面平面,
平面平面,.
(1)证明四边形是正方形;
(2)判断点是否四点共面,并说明为什么?
(3)连结,求证:平面.
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正△的边长为4,是边上的高,分别是和边的中点,现将△沿翻折成直二面角.
(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;
(2)求平面BDC与平面DEF的夹角的余弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使?证明你的结论.
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如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P,Q,R分别是棱AB,CC1,D1A1的中点.
(1)求证:B1D^平面PQR;
(2)设二面角B1-PR-Q的大小为q,求|cosq|.
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(14分)如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的 底面为圆柱
底面的内接三角形,且是圆的直径。
(I)证明:平面平面;
(II)设,在圆柱内随机选取一点,记该点取自三棱柱内的概率为。
(i)当点在圆周上运动时,求的最大值;
(ii)如果平面与平面所成的角为。当取最大值时,求的值。
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