Question

如图，公园内有一块边长为2a的等边形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．

(1)设，，求用表示的函数关系式．

(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置应该在哪里?如果DE是参观路线，则希望它最长，DE的位置又在哪里?请给予证明．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)∵在中，D在AB上，∴， ∵，∴， ∴． 在中，由余弦定理得：， ∴． (2)令，则，则， 令，，， ∵，，， ∴当时，． 当时，，又 ∴当，即时，有最小值，此时DE∥BC，且； 当或即或时，有最大值，此时DE为的AB或AC边上的中线．

提示：

(1)要用表示，可由面积相等用表示出AE，然后用余弦定理表示． (2)DE的最值即是的最值，常借助的单调性求解．