Question

给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是________．
①f(x)＝sim x＋cos x     ②f(x)＝ln x－2x
③f(x)＝x³＋2x－1       ④f(x)＝x·e^x

Answer 1

④

由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f″(x)的正负．对于A，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；对于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；对于C，f′(x)＝－3x²＋2，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0；对于D，f′(x)＝e^x＋xe^x，f″(x)＝e^x＋e^x＋xe^x＝2e^x＋xe^x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)>0.