Question

已知命题p：函数f（x）=x²-4mx+4m²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2；命题q：不等式x+|x-m|＞1对于任意x∈R恒成立；命题r：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}．如果上述三个命题中有且仅有一个真命题，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次函数的图象与性质，算出当p为真命题时，可得-1≤2m≤3即-

1

2

≤m≤

3

2

；根据绝对值的意义求出y=x+|x-m|的最小值，得当q为真命题时m＞1；根据集合的概念与运算，可得当r为真命题时m≥1或m≤-1．再根据它们
有且仅有一个真命题，分三种情况加以讨论，最后综合可得本题答案．

解答：解：若命题p为真命题
则函数f（x）=x²-4mx+4m²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2，
恰好为f（2m）是二次函数在R上是最小值
∴-1≤2m≤3即-

1

2

≤m≤

3

2

…（2分）
若命题q为真命题
则有?x∈R，x+|x-m|＞1，即函数y=x+|x-m|的最小值m＞1         …（5分）
若命题r为真命题
则：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}成立
∴m＞2m+1或1≤m≤2m+1或m≤2m+1≤-1，
解之得m＜-1或m≥1或m=-1，即m≥1或m≤-1         …（8分）
①若p真q、r假，则-

1

2

≤m＜1 …（9分）
②若q真p、r假，则不存在m的值满足条件  …（10分）
③若r真p、q假，则m≤-1   …（11分）
综上所述，实数m的取值范围是m≤-1 或-

1

2

≤m＜1．     …（12分）

点评：本题给出三个命题当中有且仅有一个为真命题，求参数m的范围．着重考查了二次函数的图象与性质、集合的概念与运算和绝对值的意义等知识，属于中档题．