Question

已知圆x²＋y²＋2ax－2ay＋2a²－4a＝0(0＜a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m.
(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在的变化时，求m的取值范围．

Answer 1

(1)已知圆的标准方程是(x＋a)²＋(y－a)²＝4a(0＜a≤4)，则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2.直线l的方程化为：x－y＋4＝0.
则圆心C到直线l的距离是＝|2－a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：
L＝2
＝2＝2.
∵0＜a≤4，∴当a＝3时，L的最大值为2.
(2)因为直线l与圆C相切，则有＝2，
即|m－2a|＝2.
又点C在直线l的上方，∴a＞－a＋m，即2a＞m.
∴2a－m＝2，∴m＝²－1.
∵0＜a≤4，∴0＜≤2.
∴m∈[－1,8－4]．

略