Question

已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且，动点P满足（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆交于M、N两点，求证：为定值．

Answer 1

解：（1）（方法一）设P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．
∵，∴P是线段AB的中点，∴（2分）
∵，∴，∴．
∴化简得点P的轨迹C的方程为．（5分）
（方法二）∵，∴P为线段AB的中点、（2分）
∵M、N分别在直线y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又，∴，∴点P在以原点为圆心，为半径的圆上、
∴点P的轨迹C的方程为．（5分）
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，
∵l与C相切，∴=，∴．
联立，∴．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁•x₂=，．（8分）
∴•=x₁x₂+y₁y₂=．
又，∴•=0．（10分）
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±，代入椭圆方程得
M（，），N（，-）或M（-，），N（-，-），
此时，•=-=0．
综上所述，•为定值0．（12分）
分析：（1）（方法一）设P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．由，知P是线段AB的中点，由此能得到点P的轨迹C的方程．
（方法二）由，知P为线段AB的中点，由M、N分别在直线y=x和y=-x上，知∠AOB=90°．由此能得到点P的轨迹C的方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，由l与C相切，知=，．联立，故．由此能够证明•为定值0．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆、椭圆的相关知识．