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8.已知函数f(x)=$\frac{1}{2}$ax2+2alnx+(a-2)x,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$<a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

分析 (1)把a=1代入函数解析式,求导,根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性即可;
(2)假设0<x1<x2,则f(x2)-ax2>f(x1)-ax1恒成立,构造辅助函数g(x)=f(x)-ax,只要使函数g(x)在定义域内为增函数即可,利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围.

解答 解:(1)a=1时,f(x)=$\frac{1}{2}$x2+2lnx-x,(x>0),
f′(x)=$\frac{(x-2)(x+1)}{x}$,
令f′(x)>0,解得:x>2,令f′(x)<0,解得:0<x<2,
∴f(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增;
(2)假设存在实数a使得对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有$\frac{f({x}_{1})-f({x}_{2})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$<a恒成立,
不妨设0<x1<x2,则f(x2)-ax2<f(x1)-ax1恒成立.
令g(x)=f(x)-ax,只要g(x)在(0,+∞)为减函数.
又函数g(x)=$\frac{1}{2}$ax2+2alnx-2x,(x>0),
g′(x)=$\frac{{ax}^{2}-2x+2a}{x}$,
令h(x)=ax2-2x+2a,只需h(x)≤0在(0,+∞)恒成立即可,
a=0时,显然成立,
a≠0时,只需$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{h(0)≤0}\\{-\frac{-2}{2a}<0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{△≤0}\end{array}\right.$,
解得:a<0,
综上,a≤0.

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性,求函数的最值,考查了数学转化思想方法,考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题.

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